문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 강체 역학 (문단 편집) == 오일러 각 == 물체의 3차원 회전에 대한 방향을 나타내기 위한 3개의 각이다. 이름과 같이 [[레온하르트 오일러|오일러(Leonhard Euler; 1707-1783)]]가 최초로 도입하였다. 오일러 각은 많은 바리에이션이 있기 때문에 한 가지로 딱 정의되는 것은 아니나, 여기서는 대부분의 고전역학 책이 차용하는 방식으로 설명한다. || [[파일:namu_오일러각_설명.svg|width=650&align=center]] || 오일러 각은 다음과 같이 세 번의 회전 변환을 거치면서 드러난다. 단계 '''(a)'''에서는 우선 관성 좌표계 [math(\mathcal{O}')]계에 대하여 [math(x_{3}')]축을 회전축으로 하여 [math(\phi)]만큼 회전시킨다. 이때, 좌표는 다음과 같이 변할 것이다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{x''}=\begin{bmatrix}\cos{\phi} & \sin{\phi} & 0 \\ -\sin{\phi} & \cos{\phi} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\mathbf{x'} \end{aligned} )]}}} 단계 '''(b)'''에서는 회전된 좌표계 [math(\mathcal{O}'')]에 대하여 [math(x_{1}'')]축을 회전축으로 하여 [math(\theta)] 만큼 회전시킨다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{x'''}&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos{\theta} & \sin{\theta} \\ 0 & -\sin{\theta} & \cos{\theta} \end{bmatrix} \mathbf{x''} \\ &=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos{\theta} & \sin{\theta} \\ 0 & -\sin{\theta} & \cos{\theta} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\cos{\phi} & \sin{\phi} & 0 \\ -\sin{\phi} & \cos{\phi} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\mathbf{x'} \end{aligned} )]}}} 마지막 단계 '''(c)'''에서는 회전된 좌표계 [math(\mathcal{O}''')]에 대하여 [math(x_{3}''')]축을 회전축으로 하여 [math(\psi)]만큼 회전시킨다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{x}&=\begin{bmatrix}\cos{\psi} & \sin{\psi} & 0 \\ -\sin{\psi} & \cos{\psi} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\mathbf{x'''} \\&=\begin{bmatrix}\cos{\psi} & \sin{\psi} & 0 \\ -\sin{\psi} & \cos{\psi} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos{\theta} & \sin{\theta} \\ 0 & -\sin{\theta} & \cos{\theta} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\cos{\phi} & \sin{\phi} & 0 \\ -\sin{\phi} & \cos{\phi} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\mathbf{x'} \end{aligned} )]}}} 이것이 강체 좌표계 [math(\mathcal{O})]와 관성 좌표계 [math(\mathcal{O}')]의 관계식이 된다. 중간의 행렬을 [math(\pmb{\mathsf{R}})]이라 하면 각 성분은 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} R_{11}&=\cos{\psi}\cos{\phi}-\cos{\theta}\sin{\phi}\sin{\psi} \\ R_{12}&=\cos{\psi}\sin{\phi}+\cos{\theta}\cos{\phi}\cos{\psi} \\ R_{13}&=\sin{\psi}\sin{\theta} \\ \\ R_{21}&=-\sin{\psi}\cos{\phi}-\cos{\theta}\sin{\phi}\cos{\psi} \\ R_{22}&=-\sin{\psi}\sin{\phi}+\cos{\theta}\cos{\phi}\cos{\psi} \\ R_{23}&=\cos{\psi}\sin{\theta} \\\\ R_{31}&=\sin{\theta}\sin{\phi} \\ R_{32}&=-\sin{\theta}\cos{\phi} \\ R_{33}&=\cos{\theta} \end{aligned} )]}}} 이때, 회전의 각속도 벡터는 아래와 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \boldsymbol{\omega}=\dot{\phi} \boldsymbol{\hat{\phi}}+\dot{\theta} \boldsymbol{\hat{\theta}} +\dot{\psi} \boldsymbol{\hat{\psi}} \end{aligned} )]}}} 이때, [math(\boldsymbol{\hat{\phi}})], [math(\boldsymbol{\hat{\theta}})], [math(\boldsymbol{\hat{\psi}})]의 방향은 각각 관성 좌표계의 [math(x_{3}')]축, 교선, 강체 좌표계의 [math(x_{3})]축 방향과 같다. 여기서 교선이란 [math(x_{1}')]축과 [math(x_{2}')]를 포함하는 평면과 [math(x_{1}''')]축과 [math(x_{2}''')]를 포함하는 평면의 교선을 의미한다. 위 각속도를 [math(\mathcal{O})]계의 기저로도 나타낼 수 있다. 즉, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \boldsymbol{\omega}=\sum_{j=1}^{3} \omega_{j} \mathbf{\hat{x}}_{j} \end{aligned} )]}}} 여기서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \omega_{j}=\dot{\phi}_{j}+\dot{\theta}_{j}+\dot{\psi}_{j} \end{aligned} )]}}} 가 된다. 여기서 각각의 기저를 '[[짐벌]] 각(gimbal angle)'이라고 한다. 단순한 기하학적 분석을 통해 다음을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \dot{\phi}_{1}&=\dot{\phi} \sin{\theta}\sin{\psi} \\ \dot{\phi}_{2}&=\dot{\phi} \sin{\theta}\cos{\psi} \\ \dot{\phi}_{3}&=\dot{\phi} \cos{\theta} \\ \\ \dot{\theta}_{1}&=\dot{\theta}\cos{\psi} \\\dot{\theta}_{2}&=-\dot{\theta}\sin{\psi} \\ \dot{\theta}_{3}&=0 \\ \\ \dot{\psi}_{1}&=0 \\ \dot{\psi}_{2}&=0 \\ \dot{\psi}_{3}&=\dot{\psi} \end{aligned} )]}}} 이상에서 다음을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \omega_{1}&=\dot{\phi} \sin{\theta}\sin{\psi}+\dot{\theta}\cos{\psi} \\ \omega_{2}&=\dot{\phi} \sin{\theta}\cos{\psi}-\dot{\theta}\sin{\psi} \\ \omega_{3}&=\dot{\phi}\cos{\theta}+\dot{\psi} \end{aligned} )]}}} 단점이 있는데, 특정 상황[* 지표면에서 수직 방향으로 이동하는 경우로, 우주를 향해 날아가는 [[우주선]]이 대표적이다.]에서 각이 겹쳐 어느 각인 지 알 수 없게 되는 경우가 있다는 것이다.[* 이를 '짐벌 잠김(gimbal lock)'이라고 한다.] 이 경우는 [[사원수]]를 이용해서 각을 표현해야 한다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기